第4届 · 2012初赛 · 非数类 · 题1

题面

一、简答下列各题（本题共 5 个小题，每题 6 分，共 30 分）

（1）求极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(n!{)}^{1/n^2}.$$

（2）求通过直线

$$L:\{\begin{array}{l}2x+y-3z+2=0,\\ 5x+5y-4z+3=0,\end{array}$$

的两个相互垂直的平面 ${\pi }_1,{\pi }_2$，使其中一个平面过点 $(4,-3,1)$。

（3）已知函数

$$z=u(x,y)e^{ax+by},$$

且 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=0$，确定常数 $a,b$，使函数 $z=z(x,y)$ 满足方程

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}-\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}+z=0.$$

（4）设 $u=u(x)$ 连续可微，$u(2)=1$，且

$${\int }_L((x+2y)u\mathrm{d}x+(x+u^3)u\mathrm{d}y)$$

在右半平面上与路径无关，求 $u(x)$。

（5）求极限

\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x}\int_x^{x+1}\frac{\sin t}{\sqrt{t+\cos t}}\,\mathrm dt.$$ 来源：2012年第四届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。 > [!solution]- 题解（点击展开） > > > 五个小题依次为： > > $$ > 1;\qquad > \pi_1:3x+4y-z+1=0,\quad \pi_2:x-2y-5z+3=0; > $$ > > $$ > a=b=1;\qquad u(x)=\left(\frac x2\right)^{1/3};\qquad 0. > $$ > > 题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。 ## 导航 本卷：　本卷首题 · [[数理漫游/过往题迹/04-2012-初赛-非数类/02-题目|下一题 →]] · [[数理漫游/过往题迹/04-2012-初赛-非数类|本卷目录]] 卷间：　[[数理漫游/过往题迹/03-2011-初赛-非数类|上一卷]] · [[数理漫游/过往题迹/05-2013-初赛-非数类|下一卷]] · [[数理漫游/过往题迹|过往题迹总目录]] 总入口：　[[数理漫游|回到数理漫游]]