第3届 · 2011初赛 · 非数类 · 题1

题面

一、计算下列各题（本题共 4 个小题，每题 6 分，共 24 分）

（1）

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{2/x}-e^2(1-\ln (1+x))}{x}.$$

（2）设

$$a_n=\cos \frac{\theta }{2}\cdot \cos \frac{\theta }{2^2}\cdots \cos \frac{\theta }{2^n},$$

求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$。

（3）求

$${\iint }_D\mathrm{sgn}(xy-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

其中

$$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 2\}.$$

（4）求级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{2^n}{x}^{2n-2}$$

的和函数，并求级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{2^{2n-1}}$$

的和。

来源：2011年第三届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

（1）对 ((1+x)^{2/x}=e^{(2/x)\ln(1+x)}) 作展开，参考解答得极限 (0)。

（2）利用半角公式

$$\prod _{k=1}^n\cos \frac{\theta }{2^k}=\frac{\sin \theta }{2^n\sin (\theta /2^n)},$$

故极限为 (\sin\theta/\theta)（(\theta=0) 时取值 (1)）。

（3）把正负区域分别记为 (D_3) 与 (D_1\cup D_2)，其面积分别为 (3-2\ln2) 与 (1+2\ln2)，所以

$${\iint }_D\mathrm{sgn}(xy-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2-4\ln 2.$$

（4）设和函数为 (S(x))。逐项积分得到

$${\int }_0^{x}S(t)\mathrm{d}t=\frac{x}{2-x^2},$$

因此

$$S(x)=\frac{2+x^2}{(2-x^2{)}^2},|x|<\sqrt{2}.$$

第二个级数的和为

$$S\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{10}{9}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

导航

本卷：　本卷首题 · 下一题 → · 本卷目录

卷间：　上一卷 · 下一卷 · 过往题迹总目录

总入口：　回到数理漫游