第2届 · 2010初赛 · 非数类 · 题6

题面

第六题（15 分）设函数 $\phi (x)$ 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 $C$ 上，曲线积分

$${\oint }_C\frac{2xy\mathrm{d}x+\phi (x)\mathrm{d}y}{x^4+y^2}$$

的值为常数。

（1）设 $L$ 为正向闭曲线 $(x-2{)}^2+y^2=1$。证明：

$${\oint }_L\frac{2xy\mathrm{d}x+\phi (x)\mathrm{d}y}{x^4+y^2}=0;$$

（2）求函数 $\phi (x)$；

（3）设 $C$ 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

$${\oint }_C\frac{2xy\mathrm{d}x+\phi (x)\mathrm{d}y}{x^4+y^2}.$$

来源：2010年第二届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1–2 页。

题解（点击展开）

由于任意围绕原点的曲线积分取同一常数，而题给椭圆 (L) 的积分为 (0)，在不穿过原点的区域内可用格林公式比较，得到旋度为零。令

$$P=\frac{2xy}{x^4+y^2},Q=\frac{\phi (x)}{x^4+y^2},$$

由 (Q_x-P_y=0) 的 (y^2) 与常数项系数分别比较，得

$${\phi }^{\prime }(x)=-2x,\phi (x)=-x^2.$$

此时微分形式在原点外局部为 (-\mathrm d\arctan(y/x^2))，沿任意围绕原点的正向简单闭曲线的总增量为零，故

$${\oint }_C\frac{2xy\mathrm{d}x-x^2\mathrm{d}y}{x^4+y^2}=0.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

导航

本卷：　← 上一题 · 本卷末题 · 本卷目录

卷间：　上一卷 · 下一卷 · 过往题迹总目录

总入口：　回到数理漫游