第1届 · 2009初赛 · 非数类 · 题7

题面

第七题（15 分）已知 $u_n(x)$ 满足

$$u_n^{\prime }(x)=u_n(x)+x^{n-1}{e}^x(n\text{ 为正整数}),$$

且

$$u_n(1)=\frac{e}{n},$$

求函数项级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$$

之和。

来源：2009年第一届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

解一阶线性方程

$$u_n^{\prime }-u_n=x^{n-1}{e}^x$$

并用 (u_n(1)=e/n)，得

$$u_n(x)=\frac{x^n{e}^x}{n}.$$

所以在收敛区间内

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)=e^x\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-e^x\ln (1-x),-1\le x<1.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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