第1届 · 2009初赛 · 非数类 · 题1

题面

一、填空题（本题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分）

（1）计算

$${\iint }_D\frac{(x+y)\ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

其中区域 $D$ 由直线 $x+y=1$ 与两坐标轴所围三角形区域确定。

（2）设 $f(x)$ 是连续函数，满足

$$f(x)=3x^2-{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x-2,$$

则 $f(x)=\underline{}$。

（3）曲面

$$z=\frac{x^2}{2}+y^2-2$$

平行于平面 $2x+2y-z=0$ 的切平面方程是 $\underline{}$。

（4）设 $y=y(x)$ 由方程

$$x{e}^{f(y)}=e^y\ln 29$$

确定，其中 $f$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime }\ne 1$，则

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\underline{}.$$

来源：2009年第一届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

（1）作变量代换 (u=x+y,\ v=y/x)，按参考解答计算得

$${\iint }_D\frac{(x+y)\ln (1+y/x)}{\sqrt{1-x-y}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{16}{15}.$$

（2）令 (A=\int_0^2f(x),\mathrm dx)，由题设得 (A=4/3)，所以

$$f(x)=3x^2-\frac{10}{3}.$$

（3）设切平面为 (2x+2y-z+d=0)。代入曲面并令判别式为零，得 (d=-5)，故

$$2x+2y-z-5=0.$$

（4）对

$$\ln x+f(y)-y=\ln (\ln 29)$$

隐式求导，得

$$y^{\prime }=\frac{1}{x[1-f^{\prime }(y)]},y^{\prime \prime }=\frac{f^{\prime \prime }(y)-[1-f^{\prime }(y){]}^2}{x^2[1-f^{\prime }(y){]}^3}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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