题 1 · 极限题组 I

题面

求下列极限。

（1）

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n+3\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}\right);$$

（2）

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{3}{1^2\times 2^2}+\frac{5}{2^2\times 3^2}+\cdots +\frac{2n+1}{n^2\times (n+1{)}^2}\right];$$

（3）

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots (1+x^{2^n}).$$

来源：主线教材 PDF 第 33–36 页（印刷页 26–29）。

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