题 8 · 分割与估计

题面

若对任意 $x,y$，有

$$|f(x)-f(y)|\le (x-y{)}^2,$$

求证：对任意正整数 $n$、任意 $a,b$，有

$$|f(b)-f(a)|\le \frac{1}{n}(b-a{)}^2.$$

题解（点击展开）

在 $a$ 与 $b$ 之间等分 $n$ 段，令

$x_i=a+\frac{i}{n}(b-a),i=0,1,\dots ,n.$

由三角不等式和题设条件，

$$\begin{array}{rl}|f(b)-f(a)|& \le \sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\\ & \le \sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1}{)}^2\\ & =n{\left(\frac{b-a}{n}\right)}^2=\frac{1}{n}(b-a{)}^2.\end{array}$$

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